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(Ober-)Flächenladungen

Selected Article

Nat. Comm 7, 13611 (2016)
Critical exponents and scaling invariance in the absence of a critical point
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Proc. R. Soc. A 472, 2195 (2016)
Thirty per cent contrast in secondary-electron imaging by scanning field-emission microscopy
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Phys. Rev. B 89, 014429 (2014)
Domain-wall free energy in Heisenberg ferromagnets
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Phys. Rev. B 87, 115436 (2013)
Scale invariance of a diodelike tunnel junction
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Ich (und auch meine Studenten) habe teilweise etwas Mühe bei der
Aufgabenstellung, wenn es um Oberflächenladungsdichten geht. Mir ist dann jeweils nicht ganz klar, ob die Platte ganz dünn oder endlich dick
ist. Je nachdem hat es dann eine (z.B. Serie 8 Aufgabe 1) oder zwei
(z.B. Serie 2 Aufgabe 4a) Schichten mit Ladungen.


Serie 2,4a: Wir betrachten hier zwei isolierte, geladene Platten aus nicht-leitendem Material im Raum. (Das mit dem nicht-leitenden Material steht nicht in der Aufgabenstellung, muss aber mit der gegebenen Musterlösung so sein, siehe unten.) Diese Platten verfügen über die OBERflächenladungsdichte \sigma. Für die dünne Platte muss man sich überlegen, wie der Fall für eine endlich dicke Platte aussieht und dann den Grenzübergang machen. - In diesem Fall haben wir also für eine endliche Dicke d folgende Ladungsverteilung, denn jede Platte hat zwei Oberflächen:

+sigma |---d---| + sigma + sigma |---d---|+ sigma

Eine unendlich dünne Platte hat immer noch zwei Oberflächen --> man hat pro Platte zwei Schichten mit Ladungen.

Beachte, dass das innere der Platten in diesem Fall NICHT feldfrei ist! in der linken Platte ist das E-Feld
E_l = -sigma/epsilon_0, in der rechten platte ist E_r = +sigma/epsilon_0.

Bei zwei metallischen Platte hingegen wäre es nicht möglich, eine solche Ladungsverteilung zu erreichen: Da das innere eines Leiters feldfrei sein muss, müssten sich alle Ladungen an den Aussenflächen ansammeln, (beachte den Unterschied zum Plattenkondensator, wo die Ladungen auf den Innenflächen liegen):

+sigma |---d---| |---d---|+ sigma

Und als Resultat haben wir pro Platte nur eine Oberflächenladung und das innere der Platten sowie der Raum zwischen den Platten wird feldfrei. Wiederum spielt die Dicke der Platte für die Berechnung des Feldes ausserhalb derselben keine Rolle. - im Fall von unendlich dünnen Platten haben wir also auch nur eine geladene Fläche pro Platte.

Die Frage ist nun wie die -- zugegebenermassen nicht eindeutige -- Aufgabenstellung interpretiert wird:
entweder

I) als vorgegebene Ladungsverteilung, mit der Ladung pro Fläche \sigma auf jeder Oberfläche (OBERflächenladungsdichte)

oder

II) als zwei metallische Platten mit gleicher Ladung pro Fläche \sigma (Flächenladungsdichte), und diese verteilt sich dann wie die Elektrostatik es vorschreibt. Bem: In diesem Fall wäre es schöner, die Geamtladung vorzugeben und die Form der Ladungsverteilung als Teilaufgabe zu stellen. Allerdings macht eine Gesamtladung für eine unendlich ausgedehnte Platte keinen Sinn, deshalb muss man sich mit der Ladungsdichte pro Fläche behelfen.

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Serie 8, A1: Wiederum muss man wegen der unendlichen Ausdehnung der Platte von einer Flächenladungsdichte sprechen und das ist hier genau die Idee: gesamte Plattenladung pro Flächeneinheit in der x-z-Ebene. Die Ladungsverteilung in y-Richtung ist (für das B-Feld ausserhalb der Platte) egal. Es spielt auch keine Rolle, ob die Platte endlich dick und homogen geladen ist oder unendlich dünn oder wie auch immer.

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Der Vollständigkeit halber noch der Plattenkondensator: Die gesamte Ladung des Systems muss verschwinden, wir haben also auf gegeüberliegenden Platten entgegengesetzte Ladungen:

|---d---| + sigma - sigma |---d---|

Nur mit dieser Anordnung ist das innere der Platten feldfrei und wiederum spielt die Dicke d der Platten keine Rolle.
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