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Zu Intensität, Amplitude und Feldern

Selected Article

Nat. Comm 7, 13611 (2016)
Critical exponents and scaling invariance in the absence of a critical point
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Proc. R. Soc. A 472, 2195 (2016)
Thirty per cent contrast in secondary-electron imaging by scanning field-emission microscopy
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Phys. Rev. B 89, 014429 (2014)
Domain-wall free energy in Heisenberg ferromagnets
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Phys. Rev. B 87, 115436 (2013)
Scale invariance of a diodelike tunnel junction
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Ursprüngliche Frage
Eine kurze Frage:
In Serie 11 Aufgabe 2 nehmen wir zur Berechnung der mittleren Energiedichte die physikalischen Wellen (mit sin und cos) und nicht die komplexe Darstellung (sonst gäbe das zeitliche Mittel der Energiedichte ja 0).
Als Tipp zur Hausaufgabe 6 der aktuellen Serie 12 gab uns unser Assistent zur Berechnung der Intensität die Formel:
I = abs( A1 + A2 * e ^(i phi) )^2,
wobei phi die Phasendifferenz und Ax die Amplituden der beiden Wellen sind.
Meine Frage: Müsste man nicht hier auch die physikalische Welle (dh den Realteil) und nicht die komplexe Dastellung verwenden, und wenn nicht, warum nicht?

Erste Antwort...
Also so schnell-schnell ist der Unterschied zwischen <|A|^2>_t und <(Re(A))^2>_t ein Faktor 2. (Beachte dass für komplexe Zahlen z=x+iy das Betragsquadrat als (x+iy)(x-iy) definiert ist. Also bekommst du mit dem komplexen Feld

<|E e^(i phi)|^2>_t = <(E e^(i phi)) *(E e^(-i phi))>_t = _t = E^2

und mit dem Realteil (d.h. mit dem physikalischen Feld)

<|Re(E e^(i phi)|^2> = <|E cos phi |^2> = ... = 1/2 E^2

Für die qualitative Deutung der Interferenz gibt sich also kein Unterschied, da wir sowieso an A_x / A_0 interessiert sind und sich der Faktor 2 wieder heraushebt.

Nachhaken des Studenten...
Serie 11 Aufgabe 2: Musterlösung:
ut = ... = < epsilon0 * E^2 > . Wenn man hier die komplexe Darstellung der Welle einsetzt, ergibt dies 0, da (nach MuLö) nicht das Betragsquadrat, sondern das Quadrat genommen wird...
Bei der reellen Welle gibts 1/2 (Mittelwert von cos^2).
Geht die Musterlösung einfach davon aus, dass E die physikalische Welle beschreibt (reell ist) und setzt darum kein Betragsquadrat?

Ok, möglich dass es keinen Einfluss auf die Aufgabe hat, aber welches ist denn nun die "richtige" Formel der Intensität. Die mit dem physikalischen oder dem komplexen Feld? Es müsste doch auch hier diejenige mit dem physikalischen Feld sein, nicht?

Zusammengefasst: Müsste man nicht überall eigentlich die physikalische Welle nehmen. Dh das komplexe manchmal wenn möglich zur einfacheren Rechnung einführen, jedoch bei solchen Definitionen immer nur den Realteil verwenden (sowohl bei der Energiedichte wie auch bei der Intensität etc...)?

Und die Antwort dazu
Serie 11 Aufgabe 2: Musterlösung:
ut = ... = < epsilon0 * E^2 > . Wenn man hier die komplexe Darstellung der Welle einsetzt, ergibt dies 0, da (nach MuLö)
nicht das Betragsquadrat, sondern das Quadrat genommen wird...


Stimmt nicht... beachte, dass es nicht E^2 sondern (\vec E)^2 heisst. Das Quadrat eines Vektors ist das Skalarprodukt mit sich selbst und das Skalarprodukt für komplexe Vektoren ist (A*,B) für A, B in C^3 und
( . , . ) das gewöhnliche, kanonische Skalarprodukt. Wenn (\vec E) komplex angenommen wäre, dann müsstest du also E* mal E rechnen und würdest eben epsilon_0(E_0)^2 erhalten.

Bei der reellen Welle gibts 1/2 (Mittelwert von cos^2).
Geht die Musterlösung einfach davon aus, dass E die
physikalische Welle beschreibt (reell ist) und setzt darum
kein Betragsquadrat?


In der Musterlösung ist der Ausdruck für das elektrische Feld bereits reell angegeben (E_0 sin(...)etc.), die MuLö zu Serie 11, Aufg. 2 muss sich also nicht um Realteil oder Nicht-Realteil kümmern. Für die Energiedichte ist aber auf jeden Fall das physikalische elektrische (und magnetische) Feld relevant. Die Bezeichnungen \vec E und \vec B in der Formel für u beziehen sich auf jeden Fall auf die physikalischen Felder. (Die Energiedichte ist nicht nur für Wellen sondern auch z. B. für statische Felder definiert.)

Ok, möglich dass es keinen Einfluss auf die Aufgabe hat, aber
welches ist denn nun die "richtige" Formel der Intensität.
Die mit dem physikalischen oder dem komplexen Feld? Es müsste
doch auch hier diejenige mit dem physikalischen Feld sein, nicht?


Die Amplitude in Serie 12 Aufg. 6 ist eine skalare Grösse und hat eigentlich nichts mit dem elektrischen Feld zu tun. Diese Beschreibung funktioniert aber trotzdem, um Beugung qualitativ richtig zu beschreiben, da dazu lediglich der Wellencharakter, nicht aber der Vektorcharakter des Lichtes nötig ist, geschweige denn das Wissen, dass es sich bei Licht um ELEKTROMAGNETISCHE Wellen handelt.

Dazu ein kurzer historischer Exkurs:
Young führte sein Doppelspalt-Experiment 1805 durch und bewies damit die Wellennatur des Lichtes. Maxwell stellte seine Gleichungen 60 Jahre später (1865) auf und postulierte damit die Existenz von e-m-Wellen. Ihren experimentellen Nachweis erbrachte Hertz erst 1888 (Radiowellen). Ich weiss nicht, seit wann man weiss, dass auch Licht aus e-m Wellen besteht. Beachte im Übrigen auch, dass man zur Deutung gewisser Experimente Licht als Teilchen (Photonen) auffassen muss (Einstein, 1905) - siehe Physik IV.

Wenn du die beiden Beschreibungen (phänomenologische skalare Welle und e-m-Welle) zusammensetzen möchtest, musst du die (phänomenologische) Intensität mit der (mittleren, skalaren) Energieflussdichte (vgl. Serie 11, Aufgabe 2b), d.h. dem (mittleren) Betrag des Poynting-Vektors identifizieren, jedenfalls wenn man "Intensität" als "Energie pro Zeit- und Flächeneinheit" auffasst.

Zusammengefasst: Müsste man nicht überall eigentlich die
physikalische Welle nehmen. Dh das komplexe manchmal wenn
möglich zur einfacheren Rechnung einführen, jedoch bei
solchen Definitionen immer nur den Realteil verwenden (sowohl
bei der Energiedichte wie auch bei der Intensität etc...)?


Zusammengefasst handelt es sich bei S11A2 und S12A6 um zwei verschiedene Aspekte (Energietransport resp. Beugung) von e-m-Wellen zu deren Beschreibung zwei verscheidene Modelle beigezogen werden.
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